中3の数学では今まで習ってきた数学の応用がほとんどです。
つまり、過去の数学で分からないところを残しておくと全く理解できないです。
今回だと「中1の一次方程式」、「中2の多項式」は最低限押さえておく必要があります。
焦らず、まず基本をしっかり押さえて挑みましょう。
式の展開
これは分配法則の応用です。
いくつか便利な解き方があるので、1個ずつ紹介していきます。
(x + a)(x + b)
(x + 1)(x + 3)
=x2 + 3x + x + 3
=x2 + 4x + 3
と1個ずつ計算していましたが、もっと簡単なやり方があります！
(x + 1)(x + 3)
=x2 + 4x + 3
この様に、1個ずつ計算をしなくても、パッと答えが出せる方法が次のように考えれます！
文字で書きましたが、難しいことはありません。
xが2乗される。
数字のところを足して、xをかける。
最後に数字同士をかける。
たったこれだけです！
慣れてしまえば、上で解いた様にスラスラかけちゃいます！
もちろん、マイナスの時も使えます！
(x + a)(x – a)
(x + 3)(x – 3)
=x2 – 3x + 3x – 9
=x2 – 9
はい、同じく分配法則で計算してみましたが、察しの良い方はお気づきかもしれません。
こちらも計算を省略できちゃうのです！
(x + 3)(x – 3)
=x2 – 9
何故なら次のように考えれるからです。
xが2乗される。
数字のところは0だから消える。
最後に数字を2乗しマイナスをつける。
(x + a)2
(x + 5)2
=(x + 5)(x + 5)
=x2 +5x +5x +25
=x2 +10x +25
はい、こちらも簡単に省略できます！
(x + 5)2
=x2 +10x +25
こちらは次のように考えることができます。
xが2乗される。
文字も数字も全部かける。
最後に数字を2乗。
因数分解
では式の展開が終わったところで、因数分解に入ります。
簡単に言うと先ほど見た式の展開の逆になります！
どうして因数分解が必要なのかというと、例えば、
x2 + 4x + 4 = 0 の xを求めよ
と問題が出たとき、因数分解が分かっていないと終わりです。
例題の様にまだ簡単なものならx =1,x = 2…としらみつぶしでたまたまヒットするかもしれませんが、
流石にこれではダメです。。
時間も非効率ですし、何よりテストの点数も下がる一方です。
基本的には式の展開が理解できればある程度問題も解けますが、やはり数をこなさないとなかなかできないのも因数分解の特徴です。
ではいくつか例題を出します。
① xyz + yz
②x2 + x – 6
③4x2 + 32x + 64
では、1個ずつ見ていきましょう
xyz + yz
① xyz + yz ・・・yzが共通
=yz(x + 1)
※以下は式の展開をし、ちゃんとできているかのチェック
yz(x +1)
=yz × x + yz × 1
=xyz + yz ・・・①の問題に戻っていることを確認
x2 + x – 6
②を解く前に、ここで整理します。
真ん中のxには見えていないですが、1があります。
右は-6とあります。
本来たすき掛けというやり方で計算を行います。
x2 のたすき掛けはあまりしないですが、今後必ずと言っていいほど使っていくので、しっかり使って覚えていきましょう！
もう少し分かりやすくすると以下のようになります
②x2 + x – 6 ・・・足して1、かけて-6になるパターンを考える
=(x +3)(x – 2)
※以下は式の展開をし、ちゃんとできているかのチェック
(x + 3)(x – 2)
=x2 – 2x + 3x – 6
=x2 + x – 6・・・②の問題に戻っていることを確認
4x2 + 32x + 64
③4x2 + 32x + 64・・・全ての数字が4の倍数であることに気づけるとGood
=4(x2 + 8x + 16)
=4(x + 4)2
※以下は式の展開をし、ちゃんとできているかのチェック
4(x + 4)2
=4(x +4)(x + 4)
=4(x2 + 4x + 4x +16)
=4(x2 + 8x + 16)
=4x2 + 32x + 64・・・③の問題に戻っていることを確認
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